Existen diferentes tipos de factorización

"Tipos de factorización"

1. Factor de monomio.

2. Factor común monomio.

3. Factor común polinomio.
4. Factor común por agrupamiento.

5. Trinomio cuadrado perfecto.

6. Diferencia de cuadrados perfectos.

7. Caso especial de cuadrados perfectos.

8. Trinomio de la forma x2+bx+c

9. Trinomio de la forma ax2+bx+c

10. Suma de cubos perfectos.

11. Diferencia de cubos perfectos.

Explicaremos algunos de estos tipos. 

COMBINACIONES

COMBINACIÓN

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres (A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces sí importa el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario, si en el equipo no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:

Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB

Combinaciones: AB, AC, BC

Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.

La fórmula de combinaciones es:

                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este código de colores para identificar las 42 partes del producto?

Usando la fórmula de combinaciones:

n C r = n! = 7! = 7! = 35

r! (n – r )!  3! (7 – 3)!  3! 4!

El tomar tres colores de 7 posibles no es suficiente para identificar las 42 partes del producto.

PERMUTACIÓNES

PERMUTACIÓN

Una permutación es una combinación en donde el orden es importante. La notación para permutaciones es P(n,r) que es la cantidad de permutaciones de “n” elementos si solamente se seleccionan “r”.

A diferencia de la fórmula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el número de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la fórmula que se utiliza para contar el número total de permutaciones distintas es;

FÓRMULA: n P r = n! (n – r)

Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares de un concurso, donde existen 15 participantes?

 Aplicando la fórmula de la permutación tenemos:       

                                         

n P r = n! (n – r)! = 15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)!                                                  11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 32760

Donde: n= número total de objetos    r= número de objetos seleccionados     ¡= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador.

Regla Factorial

Regla factorial

Una colección de n elementos distintos se pueden acomodar  de n! formas diferentes. Es decir, el primer elemento se puede seleccionar de n maneras distintas, el segundo de n-1 maneras, y así sucesivamente.

Ejemplo: Mesa de honor

Se requiere acomodar a 8 personas en una mesa de honor y se le solicita que haga un listado de las diferentes formas de ordenar a las personas. Antes de aceptar la tarea decide investigar cuántas formas diferentes existen.

Respuesta: Se aplica la regla factorial. Para el primer puesto hay 8 opciones, para el segundo, 7, para el tercero 6, y así sucesivamente. Entonces hay 8! Formas de acomodar a las personas: 40320. (No sería sencillo tratar de hacer la lista completa).

Ejemplo: Niños y niñas

Una familia tiene 3 niños y 2 niñas. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila? ¿Cuántas formas hay si los niños desean sentarse separados de las niñas?

Respuesta: Hay 5! formas de sentarse: 120.

Si desean sentarse separados, hay 2 formas de distribuirlos: HHHMM y MMHHH y en cada caso los niños pueden sentarse de 3! formas diferentes y las niñas de 2! Por lo que hay 3! x 2! x 2! formas: 24 formas.

Ejemplo: Mesa circular.

Encuentre el número de formas en las que 7 personas pueden organizarse alrededor de una mesa circular.

Respuesta: Una persona puede sentarse en cualquier lugar de una mesa circular. Las otras 6 personas pueden organizarse en 6! formas. Este es un ejemplo de permutación circular. N objetos pueden ordenarse en un circulo en (n-1)! formas.

CONCLUSIÓN

CONCLUSIÓN.

En esta ultima sesión trabajaremos lo que estuvimos viendo la sesiones pasadas, pero estas de manera de conclusión sera también un reposo de todos los temas vistas.

Resuelve los siguientes ejercicios de cada uno de los temas anteriores.

1. x+30=69

2. El doble de manzanas utilizada en una feria del rancho.

3. resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método que mas se te facilite.

Ahora pon tus comentarios acerca de lo que aprendiste del tema de ecuaciones te dejo este video para que sigas comprendiendo el tema de ecuaciones.

Enlace de los vídeos que refuerzan tu conocimiento:

https://www.google.com.mx/search?q=resolucion+de+ecuaciones&rlz=1C1CAFB_enMX810MX810&tbm=vid&source=lnms&sa=X&ved=0ahUKEwiWjP7e56bdAhUHlKwKHcfsAlEQ_AUICigB&biw=1366&bih=613&dpr=1

SESIÓN 8: ESTRATEGIAS PARA LA DIVISÓN

Esta es la sesión final de las estrategias de cálculo mental, no son las únicas hay muchas más, quédate pendiente para más contenido, mientras disfrutas a la par que agilizas tu mente.

Conoce las partes de la división

DIVIDIR ENTRE 10 O ENTRE ALGUNA POTENCIA DE 10: Por cada potencia de 10 se quita un cero y si no hay ceros, se desplazará la coma a la izquierda.

Ejemplos:

4780 : 10 = 478

456 : 1000 = 0.456

Es altamente recomendable que si el dividendo y divisor terminan en 0 eliminar cuantos ceros se puedan de ellos.

Ejemplos:

70 : 20 = 7 : 2 = 3.5

48000 : 400 = 480 : 4 = 120

DIVIDIR ENTRE 5: Si 5 es equivalente a dividir 10 entre 5, podemos decir que para dividir entre 5 es posible multiplicar por 2 y dividir entre 10.

Ejemplo:

520 : 5 = 1040: 10 = 104

DIVIDIR DESCOMPONIENDO EL DIVISOR EN FACTORES: Significa transformar una división en una sucesión de divisiones más sencillas.

Ejemplo: 

Si la división de un número es entre una potencia de 2:

1008 : 8 = (1008 : 2): 4 = (504 : 2) : 2 = 252 : 2 =126

Si la división es entre un múltiplo de 10

460 : 20 = (460 : 2) : 10 = 230 : 10 = 23

SI EL DIVIDENDO ES MÚLTIPLO DE  10: Si un número termina en ceros, puedes dividir el número son los ceros y añadir los ceros al cociente.

Ejemplo:

480 : 4 = 48 : 4 X 10 = 12O

26000: 13 = 26 : 13 X 1000 = 2000

DIVIDIR ENTRE 0.1, 0.01, 0.001:  Es lo mismo que multiplicar por 10, 100 o 1000, respectivamente.

Ejemplo:

48 : 0.1 = 48 X 10 = 248

4.6 : 0.01 = 4.6 X 100 = 460

DIVISIÓN ENTRE 0.5: Es lo mismo que multiplicar por 2.

Ejemplo:

35 : 0.5 = 35 X 2 = 70

DIVISIÓN ENTRE 0.25: Es lo mismo que multiplicar por 4.

Ejemplo:

35 : 0.25 = 35 X 4 = 140

DIVISIÓN ENTRE 0.2: Es lo mismo que multiplicar por 5 (también multiplicar por 10 y dividir entre 5).

Ejemplo:

35 : 0.2 = 350 : 5 = 70

Ejercita realizando las siguientes operaciones en los comentarios:

23500 : 10000 =

48000: 120 =

720 : 5 =

1168 : 8 =

5400 : 9 =

46 : 0.001 =

45 : 0.5 =

56 : 0.25 =

92 : 0.2 =  

Ejemplo de respuestas que pueden aparecer en los comentarios:

23500 : 10000 = 2.35

48000: 120 = 4800 : 12 = 48 : 12 X 100 = 400

720 : 5 = 1440 : 10 = 144

1168 : 8 =(1168 : 2): 4 = (584 : 2) : 2 = 292 : 2 =146

5400 : 9 = 54 : 9 X 100 = 600

46 : 0.001 = 46 X 1000 = 46000

45 : 0.5 = 45 X 2 = 90

56 : 0.25 = 56 X 4 = 112 + 112 = 224

92 : 0.2 =  92 X 5 = 920 : 2 = 460

EN EL SIGUIENTE VIDEO ENCONTRARÁS MÁS ESTRATEGIAS DE CALCULO MENTAL PARA LA DIVISIÓN

SESIÓN 7: CONTINÚA CON MÁS ESTRATEGIAS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Es momento de que concluyas con las estrategias de la multiplicación, procura ejercitar muy bien cada una de ellas para que logres mayor agilidad mental.

MULTIPLICAR DOBLANDO Y DIVIDIENDO POR DOS: Cuando hay casos en los que uno de los números que se multiplican es par, se puede dividir entre 2 y multiplicar el otro por 2. Esto se puede hacer las veces que así lo desees para que la operación sea más sencilla.

Ejemplo:

16 X 12 = 32 x 6 = 64 X 3 = 192

CÁLCULOS APROXIMADOS:  A veces son muy útiles las aproximaciones sobre todo cuando realizamos compras. En estos momentos te puede resultar mu útil realizar aproximaciones redondeando una cantidad hacia abajo y otra hacia arriba.

Ejemplo:

22 X 49  ≈ 20 X 50 ≈ 1000

Complementa observando el siguiente video que te mostrará otras estrategias para casos especiales de números.

CUADRO DE SITUACIONES DE MULTIPLICACIÓN QUE NO DEBEMOS OLVIDAR Y QUE SON FUNDAMENTALES PARA AGILIZAR NUESTRAS HABILIDADES

SITUACIÓN	CÓMO PROCEDER	EJEMPLOS
Multiplicación por 10 o por alguna potencia de 10.	Para cada potencia de 10, se añade un cero al número; si se trata de números decimales, desplazaremos hacia la derecha y añadiremos ceros  si no hay suficientes números decimales.	24 x 10 = 240 13 x 100 = 1300 34.9 x 1000 = 34900
Multiplicación por múltiplos de 10.	Factorizando sabemos que multiplicar por 30 es igual que multiplicar por 3 y por 10…etc.	14 x 20 = 14 x 2 x 10 = 280 12 x 400 = 14 X 4 x 100 =4800
Multiplicación por potencias de 2 (2, 4, 8…)	Se puede relacionar con la idea de doblar.	14 x 2 = 14 + 14 =28 14 x 4 = 28 + 28 = 56 14 x 8 = 56 + 56 = 112
Multiplicación por 3.	Equivale a añadir el doble.	16 x 3 = 16 + 32 =  48 72 x 3 = 144 + 72 = 216
Multiplicación por 5.	Como 5 es lo mismo que 10 entre 2, multiplicar un número  por 5 es lo mismo que dividirlo entre 2 y luego multiplicar por 10,	36 x 5 = 18 X 10 = 180
Multiplicación por 6.	Se recomienda multiplicar por 2 y luego por 3.	16 x 6 = 32 X 3 = 96

Es momento de que ejercites con las siguientes multiplicaciones, no olvides compartir tus soluciones en los comentarios: 

124 X 4 =

57 X 23 =

234 X 100= 

23.578 X 100000=

45 X 40 =

67 X 8 =

234 X 3 =

456 X 5 =

567 X 6=

Ejemplo de las soluciones que pueden compartir los estudiantes:

124 X 4 =248 x 2 = 496

57 X 23 ≈ 60 X 20 ≈ 1200

234 X 100= 23400

23.578 X 100000= 2357800

45 X 40 = 45 X 4 X 10 = 180 X 10 = 1800

67 X 8 = 134 X 4 = 268 X 2 = 536

234 X 3 = 468 +234 =702

456 X 5 = 228 X 10 = 2280

ÁNGULO

¿QUÉ ES EL ÁNGULO?

El ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común llamado vértice. En otros casos se hace referencia a la abertura que conforman dos lados que parten de ese punto común, o se centran en el giro que da el plano respecto de su origen.
 Para eso, la medición de los ángulos se hace en grados, minutos, y segundos. Los primeros (representados con el signo °) equivalen a 60 de los segundos (representados con ’), que a su vez equivalen a 60 de los terceros (representados con ’’).

La cantidad de grados podrá ascender hasta 360, que es considerado el giro completo. Por poner un ejemplo cotidiano que ejemplifique esto, podemos ver el reloj de agujas: constantemente las agujas están formando ángulos. A las 12 en punto, cuando las dos agujas apuntan exactamente para el mismo lado, el ángulo es de 0°. A las 3 pasa a ser de 90°, a las 6 de 180°, a las 9 de 270°, y en el giro de las 12 de nuevo serán los 360°, y volverá a empezar.

En lo que respecta a las operaciones con ángulos, podemos sumarlos entre sí, restarlos entre sí o multiplicarlos y dividirlos por números enteros. Si se sabe que el ángulo está comprendido entre dos semirrectas, se puede decir que siempre podrá trazarse una recta que divida en dos partes iguales al ángulo. Esa recta es denominada la bisectriz, y cualquier punto de esa recta equidista de ambos lados del ángulo.

Tipos de ángulos

Son muchísimas las clases de ángulos que se pueden dar en el plano, se indican a continuación algunos ejemplos:

• Nulo: El ángulo nulo es el que mide 0°, el agudo es el que mide entre 0° y 90°, el recto el que mide 90°, el obtuso el que mide entre 90° y 180°, el cóncavo es el que mide más de 180° y el completo es el de 360°.
• Suplementario: El ángulo suplementario es el ángulo que le falta a uno existente para sumar 180°, mientras que el complementario es el que le falta para sumar 90°.
• Adyacentes: Dos ángulos serán adyacentes si están consecutivos con respecto a una recta, y serán opuestos por el vértice si los lados son prolongaciones de los lados de otro ángulo.

EJEMPLO DE COMO SACAR ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES

SESIÓN 5: ESTRATEGIAS PARA LA MULTIPLICACIÓN

Es momento de que conozcas las estrategias de cálculo mental para la multiplicación 

Comienza por conocer los elementos de esta operación básica

Observa el siguiente video y escribe en los comentarios qué te ha parecido.

Nota: para el cálculo mental te será de mucha ayuda memorizar las tablas de multiplicar hasta el 9.

                                      Es momento de comenzar 

APLICANDO PROPIEDAD CONMUTATIVA: Sabiendo que el orden de los factores no altera el producto, es posible seleccionar aquellos factores que nos resulten más sencillos de multiplicar.

Ejemplo: 

25 x  8 x 4= 25 x 4 x 8 =100 x 8 = 800

REDUCIR A LA SUMA: A veces de facilitará recordar que la multiplicación es la suma de factores iguales.

Ejemplo:

430 x 2 = 430 + 430 = 860

APLICACIÓN DE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA CON LA DESCOMPOSICIÓN: Implica que descompongamos un factor en sumas o restas y luego aplicar la propiedad distributiva.

Ejemplo:

46 X 12 = 46 (10+2) = 460 + 92 =552

FACTORIZACIÓN: Implica descomponer uno o ambos factores en otros más simples, que no necesariamente son primos.

Ejemplo: 
18 X 12 = 6 X 3 X 4 X 3 = 9 X 24 = 180 + 36 = 216

Ejercita realizando las siguientes operaciones usando la propiedad que desees, escribe las posibles respuestas en los comentarios:
25 X 6 X 4 =
15 X 4 X 8 =
356 X 2 =
234 X 2 = 
42 X 15 =
23 X 12 =

Ejemplo de las respuestas que pueden colocar los estudiantes:
25 X 6 X 4 = 25 X 4 X 6 = 100 X 6 = 600
15 X 4 X 8 = 60 X 8 = 480
356 X 2 = 356 + 356 = 712
234 X 2 =  234 +234 = 468
42 X 15 = 42 (10 + 5) = 420 + 210 = 630
23 X 12 = 23 (10 + 2) = 230 + 46 = 276

Para mayor claridad en los contenidos visita los siguientes enlaces o sugiere alguna temática de interés personal relacionada con el tema (escríbelo en los comentarios).

Propiedad conmutativa

Propiedad distributiva

Factorización

¿En qué consiste la factorización?

Consiste en descomponer una expresión matemática en un producto. 

¿SABÍAS QUÉ EXISTEN DIFERENTES TIPOS DE FACTORIZACIÓN?

Blog de Factorización

Factorización 

Primero añade un comentario de la siguiente pregunta

¿Qué es factorización? 

"Sin buscar en fuentes de información"

Ahora con lo que contestaste, ve las siguientes definiciones de factorización 
y compara lo que tu contestaste

Factorización: Es la expresión algebraica utilizada para encontrar dos o más factores, teniendo en cuenta que cuyo producto debe ser igual a la expresión dada. 

Factorización: Es la descomposición de una expresión matemática en forma de multiplicación  

Técnicas de Contar

Técnicas de Contar

Introducción

¿Que son las técnicas de conteo?

Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. La enumeración de los puntos muestrales en un espacio muestra, en ocasiones es difícil y laboriosa por la cantidad de puntos a contar o enumerar, propiciando que se puedan cometer errores al emprender esa tarea. En estos casos se recurre al análisis combinatorio, que es una manera mas sofisticada de contar.

Técnica de contar

• Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. 

Ejemplos en los que se hace uso de las técnicas de conteo son:

1) En un sorteo cada participante debe elegir cuatro números del 1 al 25. Durante el sorteo se seleccionan cuatro números con repetición y ganan quienes acierten a los cuatro números en el mismo orden en que salgan. ¿cuántos posibles resultados puede tener el sorteo? 

No. de resultados = (25) (25) (25) (25) = 254 = 390,625

Nótese que en este caso, si n es el número total de elementos diferentes disponibles y r es el número de objetos que se seleccionarán con repetición, entonces el número total de resultados posibles es: n^r

.

Concepto Técnicas de Conteo

• Se les denomina técnicas de conteo, a las fórmulas y procedimientos matemáticos que nos proporcionan la información de todas las maneras posibles, en que ocurre un evento determinado.

 • Entre ellas tenemos:

 - Permutaciones

 - Combinaciones

 - Diagrama de Árbol

• Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio:

 - Multiplicativo

 - Aditivo

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO

Si un suceso puede tener lugar de m maneras distintas y cuando ocurre una de ella se puede realizar otro suceso independiente de n formas diferentes, ambos sucesos, sucesivamente pueden tener lugar de mn maneras distintas. 

Ejemplo: 

1) ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas, si deben constar de tres letras, seguidas de cuatro números?, 

a) Si es posible repetir letras y números. 

b) No es posible repetir letras y números

c) Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero. 

d) Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G

Solución:

a)     Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar

b)      26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 78,624,000 placas para automóvil

c)      1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil

d)      1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil