LEYES DE LOS LIMITES

LEYES DE LOS LIMITES

Usamos las siguientes propiedades de límites, llamadas Leyes de Límites, para calcular límites.

Estas cinco leyes se pueden expresar verbalmente como sigue:

1.  El límite de la suma de límites es la suma de los límites.

2.  El límite de una diferencia es la diferencia de los límites.

3.  El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función.

4.  El límite de un producto es el producto de los límites.

5.  El límite de un cociente es el cociente de los límites (siempre que el límite del de- nominador no sea 0).

Es fácil creer que estas propiedades son verdaderas. Por ejemplo, si f (x) es cercana a L y g (x) es cercana a M, es razonable concluir que f (x) + g(x) es cercana a L + M. Esto nos da una base intuitiva para pensar que la Ley 1 es verdadera.

Si usamos la Ley 4 (Límite de un Producto) repetidamente con g(x) = f (x), obtenemos la siguiente Ley 6 para el límite de una potencia. Una ley similar se cumple para raíces.

En palabras, estas leyes dicen lo siguiente:

6. El límite de una potencia es la potencia del límite.

7. El límite de una raíz es la raíz del límite.

EJEMPLO 1 Uso de las leyes de límites

Use las leyes de límites y las gráficas de f y g en la Figura 1 para evaluar los siguientes límites si existen.

(a) De las gráficas f y g vemos que:

 Por lo tanto tenemos

(b) Vemos que 

no existe porque los límites izquierdo y derecho son diferentes:

Entonces no podemos usar la Ley 4 (Límite de un Producto). El límite dado no existe, porque el límite izquierdo no es igual a límite derecho. 

(c) Las gráficas muestran que:

Como el límite de un denominador es 0, no podemos usar la Ley 5 (Límite de un Cociente). El límite dado no existe porque el denominador se aproxima a 0 mientras que el numerador se aproxima a un número diferente de cero. 

Aplicación de las leyes de los limites

Al aplicar las Leyes de Límites, necesitamos usar cuatro límites especiales

Los Límites Especiales 1 y 2 son intuitivamente obvios; viendo las gráficas de y = c  y  y = x nos convencerá de su validez. Los Límites 3 y 4 son casos especiales de las Leyes de Límites 6 y 7 (Límites de una Potencia y una Raíz).

EJEMPLO 2 Uso de las Leyes de Límites

Evalúe los límites siguientes, y justifique cada paso.

(b) Empezamos por usar la Ley 5, pero su uso está totalmente justificado sólo en la etapa final cuando vemos que existen los límites del numerador y denominador y el límite del denominador no es 0.