Hallar límites

Hallar límites usando álgebra y las Leyes de Límites

Como vimos en el Ejemplo 3, la evaluación de límites por sustitución directa es fácil pero no todos los límites pueden evaluarse de este modo. En realidad, la mayor parte de las situaciones en las que los límites son útiles exigen que trabajemos más para evaluar el límite. Los tres ejemplos siguientes ilustran cómo podemos usar álgebra para hallar límites.

Hallar un límite por cancelación de un factor común

SOLUCIÓN Sea f(x) = (x–1)/(x² -1). No podemos hallar el límite si sustituimos x=1 porque f(1) no está definida. Ni podemos aplicar la Ley 5 (Límite de un Cociente) porque el límite del denominador es 0. En cambio, necesitamos hacer un poco de álgebra preliminar. Factorizamos el denominador como una diferencia de cuadrados:

El numerador y denominador tienen un factor común de x-1. Cuando tomamos el límite cuando x se aproxima a 1, tenemos x ≠1 y entonces x-1≠0. Por lo tanto, podemos cancelar el factor común y calcular el límite como sigue:

Hallar un límite por simplificación

SOLUCIÓN No podemos usar sustitución directa para evaluar este límite, porque el límite del denominador es 0. Entonces, primero simplificamos algebraicamente el límite.

Hallar un límite por racionalización

SOLUCIÓN No podemos aplicar la Ley 5 (Límite de un Cociente) de inmediato, por- que el límite del denominador es 0. Aquí, el álgebra preliminar consiste en racionalizar el numerador: